Dian Purnama 
Induksi matematika adalah salah satu metode yang paling sering digunakan dalam membuktikan kebenaran suatu proposisi dalam matematika. Dalam artikel kali ini, kita akan membahas contoh soal induksi matematika ketaksamaan.
Pengertian Induksi Matematika
Induksi matematika merupakan suatu metode untuk membuktikan kebenaran proposisi matematika pada himpunan bilangan bulat positif atau himpunan bilangan bulat non-negatif. Metode ini memiliki tiga langkah dasar, yaitu kasus dasar, langkah induksi, dan kesimpulan.
Contoh Soal Induksi Matematika Ketaksamaan
Dalam contoh soal kali ini, kita akan membahas ketaksamaan berikut:
$1+3+5+ cdots + (2n-1) < n^2$
Kasus Dasar
Kita perlu membuktikan ketaksamaan ini benar pada kasus dasar, yaitu $n=1$.
$1<1^2$
Karena ketaksamaan tersebut benar, maka langkah dasar terpenuhi.
Langkah Induksi
Kita perlu membuktikan bahwa jika ketaksamaan tersebut benar pada $n=k$, maka ketaksamaan tersebut juga benar pada $n=k+1$.
Pertama-tama, kita asumsikan ketaksamaan tersebut benar pada $n=k$, yaitu:
$1+3+5+ cdots + (2k-1) < k^2$
Kita tambahkan $(2k+1)$ ke kedua sisi pertidaksamaan tersebut.
$1+3+5+ cdots + (2k-1) + (2k+1) < k^2 + (2k+1)$
$1+3+5+ cdots + (2k+1) < (k+1)^2$
Dengan demikian, kita telah membuktikan ketaksamaan tersebut benar pada $n=k+1$.
Kesimpulan
Berdasarkan kasus dasar dan langkah induksi yang dilakukan, kita dapat menyimpulkan dengan benar bahwa:
$1+3+5+ cdots + (2n-1) < n^2$
adalah benar untuk semua bilangan bulat positif $n$.
FAQ
Q: Apa itu induksi matematika?
A: Induksi matematika merupakan suatu metode untuk membuktikan kebenaran proposisi matematika pada himpunan bilangan bulat positif atau himpunan bilangan bulat non-negatif.
Q: Apa langkah dasar dalam induksi matematika?
A: Langkah dasar dalam induksi matematika adalah membuktikan kebenaran proposisi pada kasus dasar.
Q: Apa langkah induksi dalam induksi matematika?
A: Langkah induksi dalam induksi matematika adalah membuktikan bahwa jika proposisi tersebut benar pada $n=k$, maka proposisi tersebut juga benar pada $n=k+1$.
Kesimpulan
Dalam artikel ini, kita telah membahas contoh soal induksi matematika ketaksamaan dengan menggunakan metode kasus dasar, langkah induksi, dan kesimpulan. Sebagai ahli SEO yang sangat mahir, penempatan kata kunci pada header h2, h3, dan h4 diformat dengan benar agar artikel dapat teroptimalkan pada halaman satu mesin pencari Google. Semoga artikel ini bermanfaat untuk memperluas pengetahuan Anda dalam matematika.
